كيف تقيم تكامل sec^4(x)؟

يتم تقييم التكامل غير المحدود لـ sec^4(x) عن طريق فصل عامل sec^2(x)، واستخدام المتطابقة المثلثية sec^2(x) = tan^2(x) + 1، وتطبيق التعويض بـ u = tan(x)، مما ينتج عنه (1/3)tan^3(x) + tan(x) + c.

تكامل sec^4(x) – الاشتقاق، الصيغة والأمثلة

الاشتقاق والتقييم

قيم التكامل:

\[ \int \sec^4 x \, dx \]

اكتب دالة التكامل \( \sec^4 x \) على صورة حاصل الضرب \( \sec^2 x \sec^2 x \):

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int \sec^2 x \cdot \sec^2 x \, dx \]

استخدم المتطابقة المثلثية \( \sec^2 x = \tan^2 x + 1 \) لكتابة التكامل على النحو التالي:

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int (\tan^2 x + 1) \sec^2 x \, dx \]

افرد دالة التكامل وأعد كتابة التكامل على صورة مجموع تكاملات:

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int \tan^2 x \sec^2 x \, dx + \int \sec^2 x \, dx \]

استخدم التكامل بالتعويض: ليكن \( u = \tan x \)، مما يعطي \( \dfrac{du}{dx} = \sec^2 x \) أو \( dx = \dfrac{1}{\sec^2 x} \, du \). التعويض عن ذلك ينتج:

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int u^2 \sec^2 x \left(\dfrac{1}{\sec^2 x}\right) du + \int \sec^2 x \, dx \]

بسط التعبير:

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int u^2 \, du + \int \sec^2 x \, dx \]

قيم باستخدام صيغ التكامل القياسية \( \displaystyle \int u^2 \, du = \dfrac{1}{3} u^3 \) والتكامل الشائع \( \displaystyle \int \sec^2 x \, dx = \tan x \):

\[ \int \sec^4 x \, dx = \dfrac{1}{3} u^3 + \tan x + c \]

حيث \( c \) هو ثابت التكامل.

عوض مرة أخرى بـ \( u = \tan x \) للحصول على الإجابة النهائية:

صيغة التكامل لـ \( \sec^4 x \):

\[ \int \sec^4 x \, dx = \dfrac{1}{3} \tan^3 x + \tan x + c \]

تكامل \( \sec^4(x) \)

الاشتقاق والتقييم

المزيد من المراجع والروابط